رياضيات للغاوى

معضلة المربع المفقود

 

ما هو لغز المربع المفقود :
مثلث قائم الزاوية (يمتد على مستوي بـ 15×3 مربع) يتكون من مجموعة أشكال هندسية, لكن عند إعادة ترتيب هذه الأشكال, يتشكل لدينا مثلث جديد يُناظر المثلث الأصلي لكن بمربع فارغ!
في الواقع يجب أن يكون المثلثان الأصلي و الجديد بنفس المساحة بما انهما يتكونان من نفس الأشكال الهندسية… كيف أصبح ذلك… دعونا نتعرف على الحل.
الحل :
عند حساب المساحة الإجمالية للأشكال الموجودة مفترقة بواسطة جمع مساحات الأشكال، يظهر مجموع قيمته 32 سم مربع. أما عند حساب المثلث الصحيح كاملًا نحصل على مساحة إجمالية قدرها 32.5 سم مربع (13 سم * 5 سم * 1/2).
فيما تبلغ مساحة المثلث الأول 32 سم مربع، نجد أن مساحة المثلث الأسفل هي 33 سم مربع. اختلاف المساحات هذا ينتج عن عدم تطابق زاويتي المثلثين الأحمر والأزرق (غير متشابهين هندسيًا). وبهذا يحتوي كلا “المثلثان” على انحناء بسيط في امتداد الخط الأحمر إلى المثلث الأزرق.

تفسير الحل :
يستنتج من هذا إذًا، أن الضلع الفوقي ليس خطًا مستقيمًا. يمكن التعرف على عدم الاستقامة هذه عند نقطة التقاء الأحمر بالأزرق.
كخلاصة، يمكن القول أن حل الأحجية يكمن في أن كلا المثلثين ليسا بمثلثين، بل هما في الحقيقة مقعر ومحدب على التوالي، مع فرق بالمساحة تبلغ قيمته 1 سم مربع، هي تمامًا مساحة المربع المفقود.
تأكد :
تستطيع التأكد من خلال حساب ميل المثلثين الأحمر والأزرق، حيث أن ميل المثلث الأزرق يساوي (2/5=0.4)وميل المثلث الأحمر يساوي (3/8=0.375) وهنا تظهر الخدعة، حيث أن ميل المثلث الواحد يجب أن يكون متساوٍ على جميع نقاط الوتر، وهذا مالم يحدث بالنسبة للمثلث الكلي الذي يحوي المثلثين!
من خلال إعادة ترتيب المثلثين الأحمر والأزرق ستظهر لنا فكرة التحدب والتقعر، حيث أن ميل المثلث الأزرق أكبر من ميل المثلث الأحمر ووضع المثلث الأزرق فوق المثلث الأحمر سيُحدث تقعراً للداخل، بعكسه فيما إذا وضعنا المثلث الأحمر فوق المثلث الأزرق،حيث أنه سينتج تحدباً للخارج يشغل حيزاً من المساحة مساوٍ تماماً لمساحة المربع الفارغ.